上海中考对圆的要求一直不高，很多时候虽然压轴题中会出现圆，但是圆不是题目的难点；虽然涉及到圆的知识点及定理非常多，但是上海中考主要就考到垂径定理、四等定理、圆与其他图形的位置关系这三个考点，偶尔还会考到圆与正多边形相结合的考点，这里萌萌给大家总结下相关的几个难点，帮助大家更好地复习迎战二模、中考！

垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

推论1:

平分弦（ 非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。

推论2:

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧。

（不在同一直线的三点可以确定一个圆）

*推论3:

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

本质：

除了弦为直径的情况外，垂径定理本质上就是 等腰三角形三线合一。

知二得二：

如果直线满足：

1- 平分弦（非直径）的直线

2- 垂直于弦的直线

3- 过圆心的直线

4-平分弧（优或劣）的直线

以上至少两个条件，便可以满足另外两个条件。

垂径定理的使用要点：

在已知半径、弦长、弦心距、弦与半径的夹角、圆心角中的任意2个条件（至少包含一个边条件）时，便可以通过解三角形求解另外条件，此类方法常见于几何综合题中关于垂径定理的运用及相关的添线逻辑。

垂径定理的使用本质：

解由半径和弦所组成的等腰 三角形的过程。

注意是因为需要解三角形而添高，而不是看到弦就添弦心距。

如何解三角形可以看这篇文章（ 解三角形类问题全解读|萌萌说 ）

举例：

思路：

四等定理

四等定理：

在 同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

要点：

在同圆或等圆中，能够 互相重合的弧叫做等弧。

相等的弧：互相重合的弧，即是全等的弧（l、n、r分别都相等）

长度相等的弧：弧长相等的弧 （只需要l相等）

两条结论：

两弧相等可以得到两弧长度相等

两弧长度相等得不到 两弧相等

举例：

思路：

圆与其他图形的位置关系

圆与点的位置关系：

圆心到点的距离d和半径r的大小加以比较：

①0≤d＜r，点在圆内；

②d=r，点在圆上；

③d＞r，点在圆外。

通过d轴，点在圆上时(d=r)，将d轴划成三个区域，对应三种位置关系。

圆与直线的位置关系：

圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：

①0 ≤d＜r，直线和圆相交；

②d=r，直线和圆相切；

③d＞r，直线和圆相离。

要点：

通过d轴，相切时(d=r)，将d轴划成三个区域，对应三种位置关系。

圆与圆的位置关系：

设两个圆的半径为R和r（R>r），圆心距为d：

①0≤d＜R-r，内含；

②d= R-r，内切；

③ R-r，相交（*可分为内相交和外相交）；

④ d= R+r，外切；

⑤ d> R+r，外离。

要点：

通过d轴，相切时(d=R-r或R+r)，将d轴划成五个区域，对应五种位置关系。

相切分类讨论：

相交分类讨论：

【写在最后】

圆与圆之间的关系就和人与人之间的关系一样，心与心之间的距离决定了彼此之间的相遇、相交和分离，而把我们真正联系在一起的纽带就是“缘”。

我是在2003年参加的中考，那年我遇到了非典，而你们是2020年参加中考，今年我们遇到了新冠肺炎。那年中考我超水平发挥，相信你们也可以！

疫情终会过去，但我们对未来的憧憬和对梦想的追求从不会结束，答应我不要受那些不相干的人影响，请一定牢牢坚守自己的初心。

勇敢的少年们，快去创造属于自己的奇迹！

徐艺晨

2020.3.3

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