1. 引子：什么是好的数学问题？

美国数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”这一数学名言言简意赅地点明了数学问题对数学的重要性。

1900 年 8 月，在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特做了题为《数学问题》的著名演讲。这一演讲，成为世界数学史的重要里程碑，为 20 世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这次演讲中，希尔伯特提出了 23 个当时未解决的难题——后来以“希尔伯特问题”著称，而对这些难题的研究激励推动了 20 世纪整个数学的发展。

1985 年，美籍华裔数学大师陈省身在南开大学数学研究所成立时指出，“一定要做好的数学”“有好的数学和不好的数学之分”“要从年轻时就懂得欣赏好的数学”。

从这两个事例中，我们可体会到好的数学问题对数学的重要性。那么，什么是好的数学问题呢？在陈省身看来，只有那些不断深入、有发展前途、可以影响许多学科的数学问题才是“好的数学”，如解方程。而另一些数学问题虽然可能也蛮有意思，但难以有进一步发展，它们就是“不好的数学”，如“拿破仑定理”。在希尔伯特看来，好的数学问题在于它有用且增进知识，数学史上的重要问题就在于其能创造新方法、建立新理论、开辟新领域。简单说，好的数学问题就是能为数学“下金蛋”的数学问题。

那么，古往今来，哪些数学问题能为数学“下金蛋”？今天为大家介绍一本《下金蛋的数学问题》，介绍了能够“下金蛋”的六大经典数学问题，其中穿插了数学家奇闻轶事，读来非常过瘾。

2. 六大经典数学问题

纵观数学发展史，这类重要的、有价值的数学问题可谓不胜枚举。本书所要介绍的正是从代数、几何、图论、数论中采撷出的 6 个经典数学问题。

通过这几个问题的清晰介绍，读者可对这些问题的来龙去脉获得清楚认识。而伴随着这一过程，读者的数学旅程亦将成为反复体验“从惊讶到思考”的快乐之旅。

3. “从惊讶到思考”的快乐之旅

首先，读者会为这几个著名难题拥有的“困难性和简单性的某种巧妙组合”特征而惊讶。简单性，是指问题本身清楚、易于理解。正是这一特点吸引、诱惑着无数人走上寻找问题解决钥匙的道路。同时，无数尝试者的失败也揭示出这些看似简单的问题实质上极度困难。这种问题表述“非常简单”和问题求解“极度困难”的鲜明对立，是这些问题的特别迷人之处，也是令人惊叹之处。

其次，当看到这些问题的最终解答时，读者可能有更大的惊讶感。一方面，有些问题的答案本身出人意料，如高于四次的一般多项式方程没有根式解。另一方面，更出人意料的是问题的解决途径。比如，为了证明看上去很简单的四色问题，我们不得不借助于电子计算机。再如，为了证明费马大定理，数学家们不得不兜上一个大圈子证明谷山 - 志村猜想，而为了证明谷山 - 志村猜想，怀尔斯不得不综合利用现代数学许多分支的成就。

最后，读者可能惊讶于这些数学问题孵出的金蛋之多。通过书中例证，我们会清楚认识到，数学中的重要问题，往往会成为新思想发展的酵母。为了解决问题，数学家们往往要提出新概念、新思想，创立新方法，得到新发现，而这些真知灼见，甚至可能打开一扇新分支的大门。比如，正是在研究多项式方程的根式解问题中，天才数学家伽罗瓦提出了群论。再如，在费马大定理的研究中，德国著名数学家库默尔提出了理想数思想，其新思想虽然没有彻底解决费马猜想，但极大推动了代数数论的发展。

从不断的惊讶中，读者不仅会对这些重要的数学问题有所认识，从中领略它们的魅力，而且可深切体会“重大而关键的问题是活的血液，是推动数学发展的重要动力源泉”。更重要的是，读者在惊讶之余，还可做多角度、多层次的深入思考。

真正想从事数学研究，并有志解决世界数学难题的人，应该明白自己努力的方向：打下良好的基础，具备相当的数学知识与修养，掌握所研究领域和课题已有的成果、方法和最新文献，在此基础上，再做进一步的探讨。也就是说，任何世界难题的解决，都建立在对前人成功与失败的深入了解的基础之上。如果认为自己可以完全独立另造一片天空，以解决前人未能解决的问题，这只能是白费力气。

从惊讶到思考，我们将加深对“数学是什么”的理解，而且还可体会到数学之美，感受到数学的无穷魅力。

另外，书中还穿插了数学家的逸事及相关的数学思想。通过这种介绍，读者可从更多侧面了解“数学家是什么样的人”，同时可对许多重要数学思想有更透彻的认识。

本书是一本数学科普读物，可供广大师生及所有数学爱好者阅读。

4. 专业人士推荐

如果你喜欢数学或者正在攻读数学系，但又不太了解这门学科的历史与现状，那这本书会对你非常有帮助。你将会穿越到过去，和书中的众多数学家一道，在贯穿数学史的6个重要问题中不断探索，不断前行，收获许多看课本和刷练习题无法学到的知识。

——顾森（Matrix67），《思考的乐趣》作者

这本书的故事性极强，很多数学家有血有肉的性格呼之欲出：伽罗瓦的桀骜不驯、欧拉如贝多芬一样在失明后的多产、怀尔斯的谦逊和不屈不挠、埃尔德什浪迹天涯般地与人合作……这些精彩的故事、优美的数学、深邃的思想，必将吸引广大读者，追随着优雅的魔笛声，踏入数学的神奇殿堂。

——刘新宇，亚马逊中国研发中心部门经理

在《下金蛋的数学问题》一书中，韩雪涛老师从数学轨迹中为我们采撷了6个经典数学问题，每一个都有自己的传奇：它的起源如何，在数学背景下为什么是重要的，开辟怎样的数学分支。我们能够透过了解这些问题迷人与伟大的意义，提高对数学的认识，锻炼头脑和思维的力量，激励自己像前人那样顽强学习，到达更广阔与自由的境界。

——李想，“遇见数学”公众号创办人

5. 作者简介

韩雪涛

科普作家，另著有《数学悖论与三次数学危机》《从惊讶到思考——数学悖论奇景》等，参与编写《十万个为什么（第六版，数学卷）》《数学的足迹》（改变世界的科学丛书）等。

本书曾入选“2010年新闻出版总署向全国青少年推荐百种优秀图书”书目。《数学悖论与三次数学危机》在2016年入选《环球科学》最美科学阅读Top10书单。《数学的足迹》在2016年10月荣获第四届中国科普作家协会优秀科普作品奖（图书奖）。