完全归纳法是一种非常简单的推理方法：令A是一个包含有限元素的集合，如果验证了每一个元素都具有性质P，则认为这个集合中的所有元素都具有性质P。这个论证方法的正确性是不言而喻的，因为每一个元素都已经被验证过了，当然结论是成立的。但是，在实际应用的过程中，问题并不是那么简单。归纳法最初也是由亚里士多德提出的，但是他对于这种论证的方法并不重视，后来逻辑学家改称这种方法为完全归纳法，用来区别两千年后由培根创立的归纳法。

完全归纳法也是一种演绎推理的方法，因为利用这种推理得到的结论是必然的。比如，令A是大于等于4、小于等于100的偶数的集合，验证哥德巴赫猜想在集合A上是否成立，即验证集合A中的元素是否都可以表示为两个素数和的形式：

4=2+2,6=3+3,8= 3+5,10=3+7,12=5+7 ,14=3+11,16=3+13,…,100=3+97。

验证表明结论是正确的，于是根据完全归纳法可以给出下面的：

哥德巴赫定理1 集合A中的每一个元素，即大于等于4、小于等于100的偶数可以表示为两个素数的和。

上面的结论虽然应用的范围不够广泛，但确实是正确的，是可以构成数学定理的，因为数学的定理是一个可以被肯定的数学命题。

我们分析完全归纳法的思考方法。首先根据某种共性G得到一个有限集合，然后验证集合中的所有元素是否都具有性质P。一般来说，性质P与构成集合的共性G是不同的，否则命题就没有任何新意了，但为了推理的方便，在一般情况下，共性G与性质P是有关联的。比如，上述定理中的共性G是偶数，性质P是可以表示为两个素数之和的数，命题的涵义是偶数可以表示为两个素数之和。因为我们对于所有的元素都进行了验证，所以通过完全归纳法得到结论是正确的，是无懈可击。

进一步，因为集合中的元素都满足性质P，于是在一定的条件下，性质P也可能成为构建集合的共性，这个条件就是：共性G与性质P之间构成充分必要条件。我们在《推理的对象：定义》中曾经讨论过充分必要条件，现在对上述定理分析如下：

充分条件：G成立则P成立，即A中的每一个数都可以表示为两个素数的和；

必要条件：P成立则G成立，即小于等于100的两个素数和在集合A中。

我们已经用完全归纳法验证了充分条件，现在需要验证必要条件。事实上，所有大于2的素数都必然是奇数，而两个奇数的和又必然是偶数，因此两个素数的和必然是偶数，必要条件成立。这样可以进一步强化上述哥德巴赫定理为：

哥德巴赫定理2 一个数属于集合A的充分必要条件是这个数可以表示为两个素数的和并且这个和不大于100。

因为是充分必要条件，正如我们在《推理的对象：定义》中所阐述的那样，这时的命题P也可以作为为集合A的定义。

在中学数学的课程内容中，完全归纳法是一种经常被使用的证明方法，其核心思想是：问题分类，逐类研究。作为一个说明，考虑下面的几何命题P：圆周角的大小等于对应圆心角的一半。

在一个圆心为O的圆中，对于给定弧AC，用∠ABC和∠AOC分别表示对应的圆周角和圆心角，那么，命题P就是：2∠ABC=∠AOC。从图(1)中可以看到

图（1）

由于角的顶点B所在位置不同，圆周角∠ABC和圆心0之间的位置关系可以分为三种情况，分别用P(l)、P(2)和P(3)表示对应这三种情况 的命题，即

P(1)：圆心在圆周角的一条边上时的命题P，如图（1）(a)所示；

P(2)：圆心在圆周角的内部时的命题P，如图（1）(b)所示；

P(3)：圆心在圆周角的外部时的命题P，如图（1）(c)所示。

这样，我们就把问题的类分清楚了，根据完全归纳法的原则，只要验证了P(1)、P(2)和P(3)这三个命题成立，就可以推断命题P成立。

证明如下：

P(1)：当圆心0在∠ABC的一条边上时，连接AO，如图(a)所示。这样∠AOC是等腰三角形△ABO的一个外角，于是有∠AOC=∠ABC+∠BAO=2∠ABC。

P(2)：当圆心0在∠ABC的内部时，过B作直径BE，并连接AO和CO，如图(b)所示。此时∠ABE和∠AOE分别是弧AE所对应的圆周角和圆心角；∠EBC和∠EOC分别是弧EC所对应的圆周角和圆心角，这都可以转化为第一种情况，得到

2∠ABC =2∠ABE+2∠EBC=∠AOE+∠EOC=∠AOC。

其中第二个等号用到了命题P(1)的结论。

P(3)：当圆心O在∠ABC的外部时，过B作直径BE，并连接AO和CO，如图(c)所示，类似P(2)的情况可以得到

2∠ABC =2∠ABE-2∠CBE= ∠AOE-∠EOC =∠AOC。

这样，我们就完成了命题P的证明。

容易看到，完全归纳法虽然简单，却是一种非常有力的推理方法，小仅仅在数学中，即使在日常生活中这种推理方法也是非常有用的，因此，在中学数学有关内容的教学过程中，应当有意识地让学生感悟这种推理方法的核心和模式。

利用完全归纳法最典型的数学例子是对“四色定理”的证明。在证明过程中把平面中相邻区域的可能的情况分为1400多类，然后利用计算机逐类验证，最终把“四色猜想”变为“四色定理”。在完全归纳法的实施过程中，分类是最为重要、往往也是最为困难的。

一个比完全归纳法更一般的方法被称为简单枚举法：令A是一个包含有限元素或者可数元素的集合，如果验证过的集合中的每一个元素都具有性质P，则认为这个集合小的所有元素都具有性质P。很显然，因为没有强调对于这个集合中的所有元素进行验证，我们可以对这个结论的正确性表示怀疑，因此，简单枚举法与完全归纳法的区别在于：没有验证或者不可能验证集合A中的所有元素。这个区别看起来不大，但这个区别却是本质的，因为即便只有一个元素没有被验证，那么这个元素不具有性质P的可能性就不能被排除。当然，对于集合中的元素，验证得越多则结论证确的可能性越大，这是一种依赖于可能性的推理，这样的推理是有道理的，但是这样推理得到的结论不具有必然性，我们称这样的推理为归纳推理。

比如，令A是一个自然数，即A={1，2，…}，考虑下面的命题：对于任意自然数n∈A，算式

n2+n+41

得到的数值都是素数，我们可以验证，当n=1，…，39时，命题的结论都是正确的；但是当n=40时，得到的数值不是素数，因此命题不成立.更有甚者，考虑命题：对于任意自然数n∈A，算式

n2+n+72491

得到的数值都是素数.我们可以验证直到n=72489时运算得到的数值都是素数，但是这个命题依然是不正确的，因为当n=72490时，运算得到的数值就不是素数了，可以看到，对于数学命题，只要有一个反例存在，则命题就不成立了。当然，如果能够表明一个命题只有有限个反例的话，那么这个命题还是很有价值的。

至今为止，人们用计算机进行了大量的计算，都证明哥德巴赫猜想是正确的，但是由于上面的那些反例，我们仍然不能说哥德巴赫猜想必然是正确的，于是，人们只能根据简单枚举法的计算结果，用猜想的形式表明如下：

哥德巴赫猜想 大于等于4的偶数可以表示为两个素数的和。

虽然简单枚举法不是一种演绎推理，但我们可以看到，简单枚举法对于发现结论是重要的，至少指明了进一步论证的方向，因此这种推理方法在中学数学的教学过程中应当给予充分的关注，正像我们在这一讲的最初曾经讨论过的那样，能够把命题编号并且形成一个序列对于演绎推理是重要的，那么，是不是能够建立一些规则，使得有些简单枚举法的论证演变成为具有必然性的演绎推理呢？答案是肯定的，这就是数学归纳法。