常识中的数学知识

（20年联考）下列关于生活中数学现象的表述错误的是（ ）。

A. 用瓷砖铺地，只有用正三角、四角、六角、八角这四种正多角砖才能刚好将地铺满

B. 世界上只有五种正多面体，即正四、六、八、十二、二十面体

C. 圆形的井盖是利用了直径相等原理，这样不论怎么移动井盖，盖子都不会掉下去

D. 每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同

答案

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参考解析

【解析】本题为选非题。本题考查数学。

A项错误。毕达哥拉斯是古希腊数学家、哲学家，他指出：如果用瓷砖铺地，只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满。

假定各顶点处正多边形的配置是一样的，且不允许正多边形的顶点放在另一正多边形的边上。

在上述假定下，用一种正多边形铺地，正n边形的内角为（n-2/n）·180°，正n边形若能刚好铺满，必须有正整数k满足（n-2/n）·180°×k=360°，得出k=2n/（n-2），n取3、4、6时公式成立，即正三角形、正四角形（正方形）、正六角形能铺满平面，而正八角形无法得出正整数解，公式不成立，即正八角形不能铺面地面。

B项正确。正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。毕达哥拉斯证明了正多面体只有五种，即正四、六、八、十二、二十面体。

设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以E=nF/2，因为两个相邻顶点有一公共棱，所以E=mV/2。又因多面体的欧拉定理（顶点数-棱长数+表面数=2），得V+F-E=2。

从上面三式可得：

①V=4n/（2m+2n-mn）；

②F=4m/（2m+2n-mn）；

③E=2mn/（2m+2n-mn）。

要使式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即（1/m）+（1/n）>1/2。

因为m≥3，所以1/n＞（1/2）-（1/m）≥（1/2）-（1/3）=1/6，因此n

①当n=3时，m

②当n=4时，m

③当n=5时，m

带入后可得：

①当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；

②当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；

③当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；

④当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；

⑤当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30。

所以正多面体只有正四、六、八、十二、二十面体五种。

C项正确。井盖设计成圆形是利用直径相等原理，这样可以保证井盖在任何方向的尺寸都大于井口，不论怎么移动都会被卡住，不至于掉下去。

D项正确。四色问题又称四色猜想、四色定理，其内容是：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色，即在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就可以。

本题答案为A项。