经常听到程序员吐槽“数学好难！”而程序员在编程中却又少不了这数学基础。编程的基础是计算机科学，计算机科学的基础就是数学。

我们都知道，只有学好数学才能打好编程的地基，写出健壮的程序。但还是会有人说“但我数学就是不好啊”。特别是很多人“一碰到算式就跳过不读”。坦率而言，我也曾这样过。

但是看了《程序员的数学》以后，我很确信是我以前打开数学的方式不对，而让我对数学产生了某种误解。

《程序员的数学》由图灵出版，由日本资深技术作家结城浩著作。书中尽可能减少了“大家不想看的算式”，也省去了过多的定义、定理和证明。单纯是为帮助程序员更容易理解编程而写的书。真的是受益匪浅，特别是在编程中的“数学思维”方面！下面我们根据书中的讲解来重新认识一下编程中的数学吧。

结城浩著作还有《数学女孩》《数学女孩2：费马大定理》《数学女孩3：哥德尔不完备定理》《数学女孩4：随机算法》《图解密码技术（第3版）》，点击链接可以试读。

众所周知，我们人类使用 10进制，计算机使用 2进制，这样的按位计数法中，0在其中所起的作用是什么？乍一看， 0仅仅是表示 “什么都没有 ”的意思，而实际上它具有创建模式、简化并总结规则的重要作用。

0 的故事——无即是有

◎◎课前对话

老师：1，2，3 的罗马计数法是I，II，III。

学生：加法很简单嘛。I + II，只要将3 个I 并排写就行了。

老师：不过II + III 可不是IIIII，而是V 喔！

学生：啊，是这样啊！

老师：没错，如果数目变大，那数起来可就费劲啦！

小学一年级的回忆

以下是小学一年级时发生的事，我依然记忆犹新。

“下面请打开本子，写一下‘十二’。”老师说道。于是，我翻开崭新的本子，紧握住削尖了的铅笔，写下了这样大大的数字。

老师走到我跟前，看到我的本子，面带微笑亲切地说：“写得不对喔。应该写成12 喔。”

当时我是听到老师说“十二”，才写下了10 和2。不过那样是不对的。众所周知，现在我们把“十二”写作12。

而在罗马数字中，“十二”写作XII。X 表示10，I 表示1。II 则表示两个并排的1，即2。也就是说，XII 是由X 和II 组成的。

如同“十二”可以写作12 和XII，数字有着各种各样的计数法。12 是阿拉伯数字的计数法，而XII 是罗马数字的计数法。无论采用哪种计数法，所表达的“数字本身” 并无二致。下面我们就来介绍几种计数法。

10 进制计数法

下面介绍10 进制计数法。

什么是10 进制计数法

我们平时使用的是10 进制计数法。

这里的“种”指的是数字的种类，用来说明10 进制和2 进制中数字复杂程度的差异。如2561 中包含四种数字，而1010 中只包含两种数字。

以上规则在小学数学中都学到过，日常生活中也一直在用，是众所周知的常识。

在此权当复习，后面我们将通过实例来了解一下10 进制计数法。

分解2503

首先，我们以2503 这个数为例。2503 表示的是由2、5、0、3 这4 个数字组成的一个称作2503 的数。

这样并排的数字，因数位不同而意义相异。

综上所述，2503 这个数是2 个1000、 5 个100、0 个10 和3 个1 累加的结果。

用数字和语言来冗长地说明有些无趣，下面就用图示来表现。

如图，将数字的字体大小加以区别，各个数位上的数字2、5、0、3 的意义便显而易见了。

1000 是10×10×10，即 103（10 的3 次方），100 是10×10，即102（10 的2 次方）。因此，也可以写成如下形式（请注意箭头所示部分）。

再则，10 是101（10 的1 次方），1 是100(10 的0 次方)，所以还可以写成如下形式。

千位、百位、十位、个位，分别可称作103 的位、102 的位、101 的位、100 的位。10 进制计数法的数位全都是10n 的形式。这个10 称作10 进制计数法的基数或底。

基数10 右上角的数字——指数，是3、2、1、0 这样有规律地顺次排列的，这点请记住。

2 进制计数法

下面讲解2 进制计数法。

什么是2 进制计数法

计算机在处理数据时使用的是2 进制计数法。从10 进制计数法类推，便可很快掌握它的规则。

用2 进制计数法来数数，首先是0，然后是1，接下去……不是2，而是在1 上面进位变成10，继而是11，100，101……

表1-1 展示了0 到99 的数的10 进制计数法和2 进制计数法。

表1-1 0 到99 的数的10 进制计数法和2 进制计数法

分解1100

在此，我们以2 进制表示的1100（2 进制数的1100）为例来探其究竟。

和10 进制计数法一样，并排的数字，各个数位都有不同的意义。从左往右依次为：

也就是说，2 进制的1100 是1 个8、 1 个4、0 个2 和0 个1 累加的结果。这里出现的8、4、2、1，分别表示23、22、21、20。即2 进制计数法的1100，表示如下意思。

如此计算就能将2 进制计数法的1100 转换为10 进制计数法。

由此可以得出，2 进制的1100 若用10 进制计数法来表示，则为12。

基数转换

接下来我们试着将10 进制的12 转换为2 进制。这需要将12 反复地除以2（12 除以2，商为6 ；6 再除以2，商为3 ；3 再除以2……），并观察余数为“1”还是“0”。余数为0 则表示“除完了”。随后再将每步所得的余数的列（1 和0 的列）逆向排列，由此就得到2 进制表示了。

同样地，我们试将10 进制的2503 转换为2 进制计数法。

我们从图1-2 可以知道2503 用2 进制表示为100111000111。各个数位的权重如下：

在10 进制中，基数为10，各个数位是以10n 的形式表现的。而2 进制中，基数为2，各个数位是以2n 的形式表现的。从10 进制计数法转换为2 进制计数法，称作10 进制至2进制的基数转换。

计算机中为什么采用2 进制计数法

计算机中一般采用2 进制计数法，我们来思考一下原因。计算机在表示数的时候，会使用以下两种状态。

虽说是开关，但实际上并不需要机械部件，你可以想象成是由电路形成的“电子开关”。总之，它能够形成两种状态。这两种状态，分别对应0 和1 这两个数字。

1 个开关可以用0 或1 来表示，如果有许多开关，就可以表示为许多个0 或1。你可以想象这里排列着许多开关，各个开关分别表示2 进制中的各个数位。这样一来，只要增加开关的个数，不管是多大的数字都能表示出来。

当然，做成能够表示0 ～ 9 这10 种状态的开关，进而让计算机采用10 进制计数法，这在理论上也是可能的。但是，与0 和1 的开关相比，必定有更为复杂的结构。

另外，请比较一下图1-3 和图1-4 所示的加法表。2 进制的表比10 进制的表简单得多吧。

若要做成1 位加法的电路，采用2 进制要比10 进制更为简便。

不过，比起10 进制，2 进制的位数会增加许多，这是它的缺点。例如，在10 进制中2503 只有4 位，而在2 进制中要表达同样的数则需要100111000111 共12 位数字。这点从表1-2 中也显而易见。

人们觉得10 进制比2 进制更容易处理，是因为10 进制计数法的位数少，计算起来不容易发生错误。此外，比起2 进制，采用10 进制能够简单地通过直觉判断出数值的大小。人的两手加起来共有10 个指头，这也是10 进制更容易理解的原因之一。

不过，因为计算机的计算速度非常快，位数再多也没有关系。而且计算机不会像人类那样发生计算错误，不需要靠直觉把握数字的大小。对于计算机来说，处理的数字种类少、计算规则简单就最好不过了。

让我们来总结一下。

→对人类来说，这种比较易用。

→对计算机来说，这种比较易用。

鉴于上述原因，计算机采用了2 进制计数法。

人类使用10 进制计数法，而计算机使用2 进制计数法，因此计算机在执行人类发出的任务时，会进行10 进制和2 进制间的转换。计算机先将10 进制转换为2 进制，用2 进制进行计算，再将所得的2 进制计算结果转换为10 进制。

按位计数法

什么是按位计数法

我们学习了10 进制和2 进制两种计数法，这些方法一般称作按位计数法。除了10 进制和2 进制以外，还有许多种类的按位计数法。在编程中，也常常使用8 进制和16 进制计数法。

● 8 进制计数法

8 进制计数法的特征如下：

● 16 进制计数法

16 进制计数法的特征如下：

在16 进制计数法中，使用A、B、C、D、E、F（有时也使用小写字母a、b、c、d、e、f）来表示10 以上的数字。

● N 进制计数法

一般来说，N 进制计数法的特征如下：

例如，N 进制计数法中，4 位数a₃a₂a₁a。 为

不使用按位计数法的罗马数字

按位计数法在生活中最为常见，因此人们往往认为这种方法是理所当然的。实际上，在我们身边也有不使用按位计数法的例子。

例如，罗马计数法。

罗马数字至今还常常出现在钟表表盘上。

还有，在电影最后放映的演职员名单中，也会出现表示年号的MCMXCVIII 等字母。

这也是罗马数字。

罗马计数法的特征如下：

例如，3 个并排的I（III）表示3，并排的V 和I（VI）表示6，VIII 表示8。

罗马数字的加法很简单，只要将罗马数字并排写就可以得到它们的和。比如，要计算1+2，只要将表示1 的I 和表示2 的II 并排写作III 就行了。但是，数字多了可就不太简单了。

例如，计算3+3 并不是把III 和III 并排写作IIIIII，而是将5 单独拿出来写作V，所以6 就应该写作VI。CXXIII（123） 和LXXVIII（78） 的加法， 也不能仅仅并排写作CXXIIILXXVIII，而必须将IIIII 转换为V，VV 转换为X，XXXXX 转换为L，再将LL 转换为C，如此整理最后得到CCI（201）。在“整理”罗马数字的过程中，必须进行与按位计数法的进位相仿的计算。

罗马计数法中还有“减法规则”。例如IV，在V 的左侧写I，表示5-1，即4（在钟表表盘上，由于历史原因也有将4 写作IIII 的）。

让我们试着将罗马数字的MCMXCVIII 用10 进制来表示。

可以发现，MCMXCVIII 表示的就是1998。罗马数字真是费劲啊！

指数法则

10 的0 次方是什么

在10 进制的说明中，我们讲过“1 是10º（10 的0 次方）”，即10º=1。

也许有些读者会产生以下疑问吧。

10² 是“2 个10 相乘”，那么10º 不就是“0 个10 相乘”吗？这样的话，不应该是1，而是0 吧？

这个问题的核心在哪里呢？我们来深入思考一下。问题在于“10ⁿ 是n 个10 相乘”这部分。在说“n 个10 相乘”时，我们自然而然会把n 想作1，2，3…。因此，在说“0 个10 相乘”时，却不知道应该如何正确理解它的意义。

那么，暂且抛却“n 个10 相乘”这样的定义方式吧。我们从目前掌握的知识来类推，看看如何定义10º 比较妥当。

众所周知，10³ 是1000，10² 是100，10¹ 是10。

将这些等式放在一起，寻找它们的规律。

每当10 右上角的数字（指数）减1，数就变为原先的10 分之1。因此， 100 就是1。综上所述，在定义10ⁿ（n 包括0）的值时可以遵循以下规则：

指数每减1，数字就变为原来的10 分之1。

10的-1 次方是什么

不要将思维止步于10º 之处。对于10 的-1 次方，让我们同样套用这一规则（指数每减1，数字就变为原来的10 分之1）。

规则的扩展

首先让我们做一个小结。

我们学习了10ⁿ 计数法的相关内容。

起初，我们把n 为1，2，3…时，即10¹，10²，10³…想作“1 个10 相乘” 、“2 个10 相乘”、“3 个10 相乘”……

然后，我们抛却了“n 个10 相乘”的思维，寻找到了一个扩展规则：对于10ⁿ，n 每减1，就变成原来的10 分之1。

当n 为0 时，若套用“10ⁿ 为n 个10 相乘”的规则，着实比较费解。于是我们转而求助于“n 每减1，就变成原来的10 分之1”的规则”，定义出10º 是1（因为10¹ 的10 分之

1 就是1）。

对2º 进行思考

让我们用思考10º 的方法，也思考一下2º 的值吧。

由此可知，对于2ⁿ 来说，n 每减1，数值就变成原来的2 分之1。

2¹ 的2 分之1 是2º，那么2º=1。

在这里我想强调的是，不要将2º 的值作为一种知识去记忆，我们更需要考虑的是，如何对2º 进行适当的定义，以期让规则变得更简单。这不是记忆力的问题，而是想象力的问题。请记住这种思维方式：以简化规则为目标去定义值。

2的-1次方是什么

让我们参照10的-1次方 的规则来思考2的-1次方。2º 除以2，得到的是2的-1次方，即2的-1次方=½。

“2 的-1 次方”在直觉上较难理解。鉴于规则的简单化和一致性，2 的-1 次方可以定义为

综上所述，可以总结出如下等式：

看了上面的等式之后， 你应该就更能体会10º 和2º 为什么都等于1 了吧。

到这里，我们给之前所说的“规则”取名为“指数法则”。指数法则的表达式为

即“N 的a 次方乘以N 的b 次方，等于N 的a+b 次方”法则（但N ≠ 0）。

0 所起的作用

0 的作用：占位

例如，用10 进制表示的2503，它当中的0 起到了什么作用呢？ 2503 的0，表示十位“没有”。虽说“没有”，但这个0 却不能省略。因为如果省略了0，写成253，那就变成另一个数了。

在按位计数法中，数位具有很重要的意义。即使十位的数“没有”，也不能不写数字。这时就轮到0 出场了，即0 的作用就是占位。换言之，0 占着一个位置以保证数位高于它的数字不会产生错位。

正因为有了表示“没有”的0，数值才能正确地表现出来。可以说在按位计数法中0是不可或缺的。

0 的作用：统一标准，简化规则

在按位计数法的讲解中，我们提到了“0 次方”，还将1 特意表示成10º。使用0，能够将按位计数法的各个数位所对应的大小统一表示成10ⁿ。

否则，就必须特别处理“1”这个数字。0 在这里起到了标准化的作用。

如果从高到低各个数位的数字依次为

那么10 进制的按位计数法就能用以下表达式来表示：

按位计数法的各个数位也能统一写作

请注意：a右下角的k 和10的指数k 是一致的。

在上述表达式中，设n=3，a₃=2，a₂=5，a₁=0，a。=3，最后的结果是2503。

通过0 来明示“没有”，能够使规则简单化。在许多情况下，规则是越简单越好的。当你在面对问题的时候，是否也可以借助0 来使问题简单化呢？请想一想吧。

日常生活中的0

在我们的日常生活中，有时也会遇到像0 那样表示“没有”的情况。

●没有计划的计划

我们常常使用日程表来管理计划。在日程表中填入“案头工作”、“出差”、“研讨会”等计划。那么，和“0”相当的计划是什么呢？

例如，我们可以将没有计划的状况设定成“空计划”。通过在计算机的日程表中搜索“空计划”，就能找到没有计划的日期。这样一来，我们就既能搜索已有的计划，又能搜索“空计划”了。

还有，我们也可以将“预计不安排计划（即，将该时间空出来）”当作0 来考虑。在日程表中先将“预计不安排计划”的日程填写占位，然后再填写需要安排工作的日程。这样就不至于引起混乱。这正好与按位计数法中的0 起到的占位作用相似。

●没有药效的药

假设现在必须有规律地服用一种胶囊，每4 天停用1 次。也就是3 天服用，1 天停用，3 天服用，1 天停用，按照这种周期循环服药，有难度吧？

灵机一动，妙法自然来。那就每天都吃药吧。只是，每4 粒中有1 粒是“没有药效”的假胶囊。事先准备好标有日期的盒子，并在其中放入每天需要服用的药，不是更好吗？

这样一来，就无需判断“今天是服药日还是停药日”了。正因为有了“没有”药效的药，才形成了“每天服用一粒胶囊”的简单规则。

由此可见，这时的假胶囊与按位计数法中“0”所起的作用相同。

人类的极限和构造的发现

重温历史进程

现今，10进制计数法已经深深地融入了我们的生活。然而这个过程经历了几千年的历史，涉及全世界的各式文明。下面我们就来快速回顾一下数学表述法的这段历史吧。

古埃及人使用5进制和10进制混合的计数法。5和10为一个单元，用记号标识，但是，他们的计数法不是按位计数法，当然也不存在0了。古埃及人将数字记在一种纸莎草纸（papyrus）上面。

巴比伦人在粘土板用菱形记号来表示数。他们使用1和10两种菱形记号来表示1~59，并通过记号的所在位置来表示60ⁿ的数位。由此，10进制和60进制混合的按位计数法就诞生了。现在通用的1小时为60分钟，1分钟为60秒的时间换算就是源于巴比伦的60进制计数法。粘土板和纸莎草纸有所不同，很难在上面书写多种不同的记号，因此，巴比伦人需要以尽可能少的记号来表示数。换句话说，也许正是因为粘土板的硬件限制，才促成了按位计数法的产生。

古希腊人不仅仅把数字当成运算工具，还在其中注入哲学真理。他们将图形、宇宙、音乐与数字相关联。

玛雅人数数时从0开始，使用的是20进制计数法。

罗马人使用5进制和10进制混用的罗马数字，以5为一个单元，记做V。以10为一个单元记做X，同样，将50、100、500、1000记做L、C、D、M。诸如IV表示4，IX表示9，XL表示40等，将数字列在左侧作为减法的表示法是后来制定的，古罗马时并不这样使用。

印度人在引进巴比伦的按位计数法的同时，清楚地认识到0也是数字。而且，他们用的是10 进制计数法。现在我们使用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，被称为阿拉伯数字而不是印度数字，也许是因为将印度数字传入西欧的是阿拉伯学者的缘故吧。

光是讨论数字的表示法，就已经涉及了如此众多的国家和文明了。

为了超越人类的极限

这里，我们稍微思考一下更深层次的问题。为什么人类需要发明计数法呢？在罗马数字中，将1、2、3 记作I、II、III，将4 写作IIII 或IV，5 写作V。不过，将5 记作IIIII 好像也可以，却又为何不那么做呢？

答案显而易见。原因是：在这种表示方法下，数越大就越难处理。比如，IIIIIIIIII 和IIIIIIIIIII 哪个大？不能马上得知。而X 和XI 就能马上比较得出孰大孰小。如果光将I 排成一排，若要表示较大的数字就非常不便了。因此先贤们创造出了“单元”的概念。

为了表示较大的数而创造出“单元”的概念，看似是一件非常理所当然的事情。而实际上在这里却给了我们极其重要的启发。要表示“十二”，比起IIIIIIIIIIII，用XII 比较方便。若使用按位计数法，写成“12”则更方便。我们可以从中获得哪些启发呢？

那就是：将大问题分解为小“单元”。

如何高效地表示一个较大的数，对于古代的先人们来说是个重要的问题。对此历史给出了两种方法：10 进制计数法和按位计数法。由于人类的能力有限，因此必须开动脑筋，想出简便的计数法。如果人类对数有更高的认知能力，就不会发展出以“单元”表示的计数法了吧。

如今，人类发展到了能够发射火箭、分析基因信息的阶段，我们所处理的数据呈爆炸性增长。这样，按位计数法也显得力不从心了。1000000000000 和10000000000000 哪个大呢？很难一眼就看出来。这时，指数表示法显得异常重要。

刚才的两个数字若写作10的12次方 和10的13次方，便能一眼看出后者较大。指数表示法是着眼于0的个数的计数法。

问题不光停留在计数法上。在现代，我们使用计算机来解决人类难以处理的大规模问题。我们竭尽全力地编写程序，绞尽脑汁地思考如何在短时间内解决大规模问题。“将大问题分解为小‘单元’”的解决办法，至今依然适用。“要解决大问题，就将它分解成多个小‘单元’。如果小‘单元’还是很大，那就继续分解成更小的‘单元’，直到问题最终解决。”这种方法至今依然通用。比如在编写大程序的时候，一般会分解成多个小程序（模块）来开发。

总结

本文通过按位计数法，思考了0 所起的作用。0 虽然没有实际的数量，却起到了占位的作用。正因为有了0，才能够实现简单的按位计数法。

另外，我们还学习了指数法则的相关内容。尤其是思考了如何定义0 次方才更为妥当。一定要在保持简单规则的前提下扩展概念，请大家一定要理解这点。

◎◎课后对话

学生：乐谱上的休止符也像0 呢。

老师：正是！它明确地表示不发音！

学生：0 与其说是“空”，还不如说是“填空”更恰当。因为它的作用是占位。

老师：说得对！这称作占位符。

学生：占位符？

老师：有了占位符才会产生模式，有了模式才会产生简单的规则。

学生：原来如此！正是通过0 这个占位符，才能实现简单的按位计数法！

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《程序员的数学》

面向读者

本书面向程序员介绍了编程中常用的数学知识，借以培养初级程序员的数学思维。本书主要面向的读者是程序员。不过若你对编程或数学感兴趣，读起来也会一样有意思。

你不需要精通数学。书中不会出现∑和∫等很难的算式，因此自认为数学不太好的读者也完全可以阅读。阅读本书只需具备四则运算（＋－ ×÷）和乘方（23=2×2×2）等基础知识。除此以外的知识在书中皆有说明。

如果你对数字和逻辑感兴趣，可能会更喜欢本书。

你也不需要精通编程。不过如果稍有一些编程经验，可能会更容易理解本书内容。书中有个别例子是用C 语言写的程序，不过即使不懂C 语言也不妨碍理解。

主要内容

书中讲解了二进制计数法、逻辑、余数、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题等许多与编程密切相关的数学方法，分析了哥尼斯堡七桥问题、高斯求和方法、汉诺塔、斐波那契数列等经典问题和算法。引导读者深入理解编程中的数学方法和思路。本书适合程序设计人员以及编程和数学爱好者阅读。

目录

前言

第1章 0故事——无即是有

第2章 逻辑——真与假的二元世界

第3 章 余数 ——周期性和分组

第4 章 数学归纳法 ——如何征服无穷数列

第5章 排列组合——解决计数问题的方法

第6章 递归——自己定义自己

第7章 指数爆炸——如何解决复杂问题

第8章 不可解问题——不可解的数、无法编写的程序

第9章 什么是程序员的数学——总结篇

相关图书：《程序员的数学2：概率统计》《程序员的数学3：线性代数》